63
Revista de la Universidad de Guayaquil Nº 112,
Enero - Abril 2012, ISSN 1019 - 6161
Cómo lograr la Dimensión Educativa en los
Estudiantes con el estudio de la Modelación
Matemática
Achieving Student Educational dimension to the study of
Mathematical Modeling
Resumen
Las Universidades deben responder a las crecientes y contínuas exigencias de la Ciencia y la Técnica,
así como a la producción y a los intereses de la cultura. Sus profesionales deben estar preparados
para enfrentar los problemas que a diario se presentan en su esfera laboral, deben ser capaces de or-
ganizar, desarrollar y dirigir la economía y cumplir los planes económicos. Es por esto que los centros
universitarios en su proceso de formación académico deben integrar a lo laboral y a lo investigativo,
y estructurar su proceso Docente Educativo con presupuestos desde el punto de vista instructivos y
educativos que contribuyan a desarrollar su profesional con formación integral que responda a las
grandes exigencias de su época.
El presente trabajo aborda el tema antes mencionado desde la perspectiva de la enseñanza de las
matemáticas aplicadas e intenta dar algunas ideas sobre la solución al problema del aporte educativo
en la enseñanza de las matemáticas con vistas a hacerlas más interesantes.
Palabras claves: Pedagogía
Summary
Universities must respond to the increasing and continuous demands of Science and Technology and
the production and the interests of culture. Its practitioners must be prepared to face the daily
problems that arise in your work area should be able to organize, develop and manage the economy
and fulll the economic plans. That is why the universities in their academic training process should
integrate the research work already, and structure their educational process with budgets from the
standpoint of instructional and educational to help develop your career with comprehensive training
that meets the heavy demands of his time.
This paper addresses the above subject from the perspective of the teaching of applied mathematics
and tries to give some ideas on resolving the problem of educational input in the teaching of mathe-
matics in order to make them more interesting.
Dr. Manuel E. Cortés Cortés, Dra. Miriam Iglesias
León
Revista de la Universidad de Guayaquil
Nº 112, Enero - Abril 2012, pp. xx - xx
ISSN 1019 - 6161
64
EDUCACIÓN
Revista de la Universidad de Guayaquil Nº 112,
Enero - Abril 2012, ISSN 1019 - 6161
Introducción
La Educación Superior debe responder a las cre-
cientes y contínuas exigencias de la Ciencia y la
Técnica, así como a la producción y a los intere-
ses de la cultura. Sus profesionales deben estar
preparados para enfrentar los problemas que a
diario se presentan en su esfera laboral, deben
ser capaces de organizar, desarrollar y dirigir la
economía y cumplir los planes económicos. Las
Universidades y su proceso de formación aca-
démico debe estar integrado a lo laboral y a lo
investigativo, y estructurar su proceso Docente
Educativo con presupuestos desde el punto de
vista instructivos y educativos que contribuyan
a desarrollar su profesional con formación inte-
gral que responda a las grandes exigencias de su
época.
La relación directa entre la Instrucción y la Edu-
cación es esencial en el Proceso Docente Edu-
cativo.
Lo instructivo llega al estudiante sólo en la me-
dida en que éste interiorice la necesidad de ese
contenido en la solución de sus problemas no
solo en el plano social sino también en el indi-
vidual.
El presente trabajo aborda el tema antes men-
cionado desde la perspectiva de la enseñanza de
las matemáticas aplicadas e intenta dar algunas
ideas sobre la solución al problema del aporte
educativo en la enseñanza de las matemáticas
con vistas a hacer mas interesante y necesario
al estudiante la apropiación de ese contenido,
históricamente muy difícil y complejo.
Desarrollo
En la Comisión de la UNESCO sobre Educación
para el siglo XXI se plantea que las instituciones
educativas deben rearmar su contenido como
lugar de la ciencia y la cultura, que forja los
hombres y mujeres que necesitan el mundo con-
temporáneo y basan sus principios sobre un Ob-
jetivo Supremo y Cuatro Pilares esenciales:
Objetivo Supremo “ Aprender a Aprender”
Los procesos de aprendizaje deben estar dirigi-
dos a aportar herramientas, vías, métodos para
que el estudiante por sí sólo obtenga la infor-
mación cientíca la interprete y la aplique en
la solución de los problemas con una proyección
innovadora original y demostrando el alto desa-
rrollo de la inteligencia, la creatividad y los va-
lores humanos en general.
Pilares Esenciales:
“ Aprender a Conocer ” .
Porque dada la rapidez de los cambios provo-
cados en el progreso cientíco y por las nuevas
formas de actividad económica y social es de-
terminante conciliar una cultura general su-
cientemente amplia con la posibilidad de tener
suciente habilidad para buscar nuevos marcos
conceptuales y profundizar en lo que se necesite
o se desee.
“ Aprender a Actuar “ .
Aprender, actuar más allá del aprendizaje de un
ocio o profesión, porque conviene en un sen-
tido más amplio de adquirir competencias que
permitan hacer frente a nuevas situaciones y
condiciones derivadas del desarrollo cientíco –
tecnológico y de los problemas generales de la
sociedad.
“ Aprender a Vivir Juntos “ .
Porque es una necesidad enfrentar los retos del
fututo unidos, con el esfuerzo de todas las
potencialidades humanas y materiales existen-
tes.
“ Aprender a Ser “ .
Porque el Nuevo Milenio exige a todos una mayor
capacidad de autonomía y de juicio, con un for-
talecimiento de la responsabilidad personal y de
vínculo con el destino colectivo.
Estas exigencias demandan una reconceptualiza-
ción de las competencias básicas y de carácter
profesional que deben ser desarrolladas en los
estudiantes, por lo que ya el volumen de conoci-
mientos no será el problema central del proceso
pedagógico, sino las herramientas para buscar y
procesar la información de forma cientíca. El
desarrollo de habilidades con secuencia algorít-
mica reducida a casos particulares debe dar paso
a la sistematización de métodos de trabajos ge-
neralizadores acordes a los cambios constantes
en las condiciones actuales. Es necesario el do-
minio de otro idioma a parte del materno como
herramienta básica en la búsqueda de nuevos
conocimientos. Por último en la misma medida
que se alcancen niveles de instrucción deberá lo-
grarse un correcto desarrollo de intereses por la
profesión y de valores humanos que le permitan
realizar las labores profesionales y su actuación
Cómo lograr la Dimensión Educativa en los Estudiantes con el estudio de la Modelación Matemática
65
Revista de la Universidad de Guayaquil Nº 112,
Enero - Abril 2012, ISSN 1019 - 6161
como ciudadano con seguridad, responsabilidad
honestidad, solidaridad y elevada autoestima
entre otras importantes cualidades.
La Teoría de los Saberes plantea que la enseñan-
za debe estar organizada de manera que abar-
que los siguientes saberes:
Saber: Aquí se seleccionan los conceptos, las
leyes, los principios, los axiomas y otros cono-
cimientos de las ciencias y de la cultura del hom-
bre que deben ser asimilados de acuerdo a las
necesidades individuales y sociales.
Saber hacer: Para ello deben ser ejecutadas sis-
temáticamente las acciones y operaciones que le
permitan al alumno desarrollar las habilidades y
hábitos de todo tipo, que le permitan apropiarse
más sólidamente del saber que se sirve de base.
Saber Ser: muy relacionado con las normas de
relación con el mundo, los sentimientos, los va-
lores y cualidades éticas que el hombre ha desa-
rrollado con sus semejantes y con los objetos y
fenómenos que le rodean a través de la actividad
y la comunicación.
El presente trabajo aborda el tema antes men-
cionado desde la perspectiva de la enseñanza de
las matemáticas aplicadas e intenta dar algunas
ideas sobre la solución al problema del aporte
educativo en la enseñanza de las matemáticas
con vistas a hacer mas interesante y necesario
al estudiante la apropiación de ese contenido,
históricamente muy difícil y complejo.
La Modelación Matemática abarca aquellas asig-
naturas de la llamada Investigación de Opera-
ciones en las que el estudiante debe crear un
Modelo Abstracto, basado en los conocimientos
aportados por la llamada matemática aplicada,
que resuelva el problema que se le presenta ju-
gando un papel importante dentro de la forma-
ción del profesional, debido a los conocimientos
y habilidades que proporcionan, propios de los
métodos cuantitativos, de carácter profesional
y cientíco técnico en su vida una vez egresado,
así como una habilidad de aplicar las mismas de
manera independiente y creadora en la empresa
industrial o los servicios. Es por esto que en el
campo de la enseñanza de las matemáticas pro-
blematizar el contenido es, ante todo , estable-
cer las relaciones afectivas con dicho material.
En este campo intervienen las asignaturas si-
guientes: Programación Lineal, Programación en
Enteros, Programación Dinámica, Programación
Multiobjetivo, Teoría de Inventarios, Teoría de
Colas, Reposición y Mantenimiento, Optimiza-
ción de Redes, Máximos y Mínimos, Simulación y
Teoría de la Decisión, entre otras. Lo mas
general de las mismas es que se debe con-
cebir un modelo matemático que de solución
al problema planteado, implicando esto abs-
tracción, un reflejo ideal simplificado, inno-
vación, representación de los objetos u cosas
en otra dimensión diferente para darle final-
mente la solución al problema modelado y
en definitiva resolver un problema de la vida
real.
Es importante el hecho de que en la enseñan-
za de las matemáticas con todas las dicultades
que conlleva por lo complejo y abstracto de los
temas debe intervenir la motivación del estu-
diante, la importancia de los contenidos no solo
en el plano social sino en el del propio estudian-
te para darle solución a sus problemas.
El proceso educativo es el más complejo dentro
del proceso docente-educativo y está dirigido a
la formación de personalidades integrales en to-
dos los aspectos, en lo referente al pensamiento
como a los sentimientos. El problema está enfo-
cado no en el profesor sino hacia el alumno hacia
sus intereses, sus necesidades y las posibilidades
que éste vea que le brindan los modelos para la
solución de los problemas en el futuro inmedia-
to.
La Modelación sirve como base para reforzar la
concepción cientíca del mundo, su cognoscibi-
lidad, la materialidad de éste, la relación obje-
to y su modelo, la relación causa efecto en los
sistemas, el desarrollo del pensamiento lógico,
el nivel de abstracción y la capacidad de razo-
namiento y del conocimiento del por qué de las
cosas. Esto se logra solo cuando el estudiante
este convencido de que el contenido estudiado
tiene aplicabilidad y ésta forma parte de su inte-
rés profesional y el conocimiento de las solucio-
nes de los problemas le puede brindar un nuevo
estadio para ser mejor en el desempeño de su
actividad.
Para que el estudiante asimile el nuevo conteni-
do matemático, el docente debe explicarle sus
características denotando el signicado social
del mismo: su signo, su dimensión; sin embargo,
para que el contenido objeto de asimilación sea
un instrumento de lo educativo, no puede ser
ajeno al estudiante, tiene que ser signicativo
66
EDUCACIÓN
Revista de la Universidad de Guayaquil Nº 112,
Enero - Abril 2012, ISSN 1019 - 6161
para el alumno. Para que la transformación de
la situación, inherente al nuevo contenido ma-
temático, sea un problema para el estudiante,
tiene que reejar la necesidad, el motivo, que
el alumno tenga para apropiarse del contenido.
La Teoría de la Caja Negra, muy útil desde el
punto de vista matemático, puede venir a resol-
ver el problema planteado de la relación entre
lo instructivo y lo educativo introduciendo una
nueva salida a la caja. Es muy usual decir que en
la caja negra tenemos una entrada representada
por los datos del problema real y una salida que
representa la salida o solución de mismo, den-
tro de la caja negra está el proceso industrial, o
económico o social que se quiere investigar, pero
desde el punto de vista matemático es una fun-
ción, un método o un algoritmo que modela el
proceso real, luego aunque el estudiante no sepa
nada del proceso puede estudiarlo, conocer sus
variaciones a diferentes estímulos, estudiar el
cambio del resultado al cambio de alguna parte
especíca de las entradas, en n investigarlo y
lograr de él los mejores resultados o los óptimos.
La gráca que se muestra representa lo dicho
anteriormente:
Entrada Caja Negra Salida
x f(x) y
La caja negra aquí signica el proceso produc-
tivo, económico o social el cual es desconocido
para nosotros, pero en su lugar la matemática
incorpora una función y = f( x ) que nos da la re-
lación entre las entradas y las salidas, modelan-
do de esta forma el proceso antes mencionado.
En términos de aprendizaje el estudiante se
apropia aquí de la abstracción que le permite
modelar matemáticamente algo sustantivo de
la realidad objetiva y que él tiene que buscar
la forma de incidir, una vez que esté bien moti-
vado en el problema, es decir se trata aquí de
convertir en necesidad del alumno el dominio
del contenido. Es por esto imprescindible en
la enseñanza de la matemática la problemati-
zación del contenido. El estudiante dispone ya
de un sistema de referencias, concretado en un
conjunto de conocimientos de estadística, de
base de datos, de matrices,..... habilidades y
valores adquiridos anteriormente para trabajar
con ellos a los que constantemente se está re-
mitiendo.
El profesor debe poseer la maestría de hacer vi-
sibles las insuciencias que poseen dichos con-
tenidos anteriores para dar solución al nuevo
problema. De esta forma el estudiante se sien-
te motivado y puede establecer las relaciones
afectivas con la solución del problema, condi-
ción suciente para la instrucción. El objetivo
instructivo se puede lograr cuando se establece
la relación entre contenido y motivo, entre con-
tenido y afecto.
El método de enseñanza y aprendizaje lo que en-
cierra son esas relaciones humanas, fundamen-
talmente comunicativas y que se exteriorizan
en la actividad que ejecuta el estudiante con el
contenido durante el aprendizaje.
En este sentido es que volviendo al tema de la
caja negra en la enseñanza de las matemáticas
aplicadas podemos decir que ésta debe ser una
función multivariable en su solución incorporan-
do, además de la supercie respuesta o variable
independiente y= f ( x ) en el modelo se deben
tener en cuenta, desde el punto de vista de la
dimensión educativa, todo aquello de lo que se
apropia en estudiante en cuanto a los hábitos,
convicciones, ética y educación entre otras.
Como se puede ver en la siguiente gráca:
Entradas Caja Negra Salidas
Xi f(x) Yi
De esta forma se hace que se lleve al estudian-
te no solamente el método cientíco del cono-
cimiento, sino todo lo que en forma educativa
debe asimilar y aprender también el estudiante
en cuanto a las convicciones, la ética, la estéti-
ca, la moral, el espíritu de solidaridad y coope-
ración, el tratamiento hacia las demás personas
y el medio ambiente y otras, tal y como hemos
venido planteando anteriormente.
A modo de ejemplo podemos citar en la ense-
ñanza de la Programación Lineal en donde el es-
tudiante aprende a modelar un proceso, separar
sus elementos fundamentales representado por
las variables del proceso, determinar y encon-
trar las expresiones de las relaciones entre los
Cómo lograr la Dimensión Educativa en los Estudiantes con el estudio de la Modelación Matemática
67
Revista de la Universidad de Guayaquil Nº 112,
Enero - Abril 2012, ISSN 1019 - 6161
elementos del proceso, las restricciones y por
último saber determinar el objetivo que se per-
sigue y como relacionarlo con los elementos fun-
damentales o variables, función objetivo.
Matemáticamente el Problema de Programa-
ciónLinealsedene:
Sean xi >= 0 i=1,n (variables no negativas)
Sujeto a un sistema de restricciones:
a11 x1 + a12 x2 + ..........+ a1n xn { < = > } b1
a21 x1 + a22 x2 + ..........+ a2n xn { < = >} b2
...........................................................
am1 x1 + am2 x2 + ........+ amn xn {< = >} bm
que maximizan o minimizan la función objetivo
max
o Z = C1 X1 + C 2 X2 + ....... + Cn Xn
min
Una vez denido el modelo del proceso el estu-
diante no solo aprende la Programación Lineal
sino, que desde el punto de vista social esto con-
tribuye a formar en el estudiante la concepción
cientíca del mundo, el principio de la materiali-
dad del mundo, la relación directa existente en-
tre el modelo y el proceso, el ahorro de recursos,
la forma de aportar lo mejor al medio ambiente,
a la sociedad en su conjunto, la ética de resolver
un problema apegado a los principios de la eco-
nomía, la ciencia y la técnica, la relación con el
entorno, la necesidad existente de la respuesta
cientíca al problema dado ..... y otras.
En el segundo paso se resuelve el modelo de
Programación Lineal, con la ayuda de la compu-
tadora y los paquetes de programas, con vistas
a encontrar la solución al problema planteado,
mediante la solución de su modelo matemático,
dando así un análisis de cómo abordar los resul-
tados desde el punto de vista económico, pro-
ductivo, del ahorro de materiales, materias pri-
mas, combustibles, recursos humanos, la mejor
forma de no dañar el medio ambiente y muchas
otras aristas del problema.
La Problematización se logra al establecer las
relaciones entre la teoría estudiada y el modelo
real que el estudiante debe resolver que lo lle-
vará a un peldaño superior del conocimiento de
la realidad, modelo con el que se sentirá afec-
tivamente muy ligado en la dualidad de ser su
modelo y el del problema real que necesita in-
vestigar. En todo este proceso el estudiante crea
un modelo, busca un paquete de programas que
lo resuelva, elige el método matemático, utiliza
la información cientíco técnica para la búsque-
da del programa, el método y el análisis de la so-
lución, con una proyección nueva, demostrando
así la apropiación del objetivo supremo “Apren-
der a Aprender”
Conclusiones
• El proceso de formación académico en las
Universidades debe integrar a lo laboral y a
lo investigativo, y estructurar su proceso Do-
cente Educativo con presupuestos desde el
punto de vista instructivos y educativos que
contribuyan a desarrollar un profesional con
formación integral que responda a las gran-
des exigencias de su época.
• Problematizar el contenido es, ante todo,
establecer las relaciones afectivas con dicho
material.
• Un Proceso Docente – Educativo con inten-
ción educativa tiene que asociar el conteni-
do con la vida.
• La dialéctica de la instrucción y la educación
radica en la relación cognitiva – afectiva en
el contenido a apropiarse y la relación del
individuo con su contexto social.
• Para que la transformación del contenido
matemático para el estudiante sea un pro-
blema , tiene que reejar la necesidad, el
motivo, que el alumno tenga para apropiarse
del contenido.
• Al denir el modelo del proceso el estudiante
no solo aprende la Matemática sino, que des-
de el punto de vista social se desarrolla en el
estudiante la concepción cientíca del mundo,
el principio de la materialidad del mundo, la
relación directa existente entre el modelo y
el proceso, el ahorro de recursos, la forma de
aportar lo mejor al medio ambiente, a la so-
ciedad en su conjunto, la ética de resolver un
problema apegado a los principios de la econo-
mía, la ciencia y la técnica, la relación con el
entorno, la necesidad existente de la respues-
ta cientíca al problema dado ..... y otras.
• La Teoría de la Caja Negra en la enseñanza
de las matemáticas aplicadas, y en la en-
señanza en general, debe ser una función
multivariable en la solución de la supercie
respuesta o variable independiente y= f ( x )
, teniendo en cuenta no solo las respuestas
analíticas del modelo sino , desde el punto
de vista de la dimensión educativa, todo
aquello de lo que se apropia en estudiante
en cuanto a los hábitos, convicciones, ética
y educación entre otras
68
EDUCACIÓN
Revista de la Universidad de Guayaquil Nº 112,
Enero - Abril 2012, ISSN 1019 - 6161
Bibliografía
1. Cortés Cortés, M. Introducción a la Investigación de Operaciones. Universidad de Guayaquil. Ecua-
dor. 1999.
2. Álvarez de Zayas, C. La Escuela En la Vida. La Habana. Educación y Desarrollo.
3. Pueblo y Educación. 1999.
4. Danilov, M.A.; Skatkin, M.. Didáctica de la Escuela Media. Editorial de libros para la Educación.
Ciudad de la Habana. 1998
5. Hernández Fernández, Ana ; Morales, Maricela. Eciencia Educativa en los Procesos Profesionales.
Educativa. ISPETP. La Habana. 1993.
6. Cortijo Jacomino, R; Castro Pimienta,O. Programa de Maestría en Ciencias de la Educación. Mó-
dulo: Tendencias Contemporáneas de la Pedagogía..
7. Universidad Tecnológica de América. México. 1999.
8. Leontiev, A. Actividad, Conciencia y Personalidad. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. 1981.
Dr. Manuel Cortés Cortés
Licenciado en Matemáticas Aplicada en la Universidad Central de las Villas. Cuba.
Doctor en Ciencias Económicas en el Instituto Politécnico de Odesa. Ucrania URSS
Miembro del Consejo Asesor Provincial de la Academia de Ciencias de la Provincia de Cienfuegos. Presiden-
te de la Comisión de Informática y Automatización.
Miembro de la Secretaría Nacional de la Sociedad Cubana de Matemática y Computación de Cuba.
Dra. Miriam Iglesias León
Dra. En Ciencias Pedagógicas 1998.
Directora del Centro de Estudios de la Didáctica y la Dirección de la Educación Superior de la UCF. 1998.
Miembro del Tribunal Permanente de Grados Cientícos para la Región Central de Ciencias Pedagógicas.
Miembro Honor de la Asociación de Pedagogos de Cuba.
Artículo recibido: 13/03/2012
Fecha aprobado: 13/04/2012
